Consolidación 1° y 2° Evaluación

Ejercicios Pág.166 : 5, 10, 14, 20 y 21.

Ejercicios Inicio Tema 12: Geometría Espacial

Ejercicio 1: ¿De esos once cuerpos geométricos, cuáles son POLIEDROS CONVEXOS y cuáles son CUERPOS DE REVOLUCIÓN?

A)Poliedro Convexo
B)Poliedro convexo
C)Poliedro Convexo
D)Poliedro convexo
E)Poliedro Convexo
F)Cuerpo De Revolución
G)Cuerpo De Revolución
H)Poliedro Convexo
I)Cuerpo De Revolución
J)Cuerpo De Revolución
K)Cuerpo De Revolución

Ejercicio 2: Escribe una tabla para comprobar que la fórmula de Euler se verifica en diferentes poliedros convexos.

	Caras (C)	Aristas (A)	Vértices (V)	C + V = A + 2
Prisma Rectangular	4 caras	12 aristas	8 vértices	4+8= 12+2
Prisma Pentagonal	5 caras	15 aristas	10 vértices	5+10=15+2
Antiprisma Cuadrado	10 caras	16 aristas	8 vértices	10+8=16+2
Antiprisma Pentagonal	12 caras	20 aristas	10 vértices	12+10=20+2
Pirámide Triangular	4 caras	6 aristas	4 vértices	4+4=6+2
Pirámide Triangular Truncada	5 caras	9 aristas	6 vértices	5+6=9+2

Ejercicio 3: Investiga sobre la vida y obra de Arquímedes.

Arquímedes (287-212 a.C.), Se le considera padre de la ciencia mecánica y el científico y matemático más importante de la edad antigua.En el campo de las Matemáticas puras su obra más importante fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe; por esta razón mandó Arquímedes que sobre su tumba figurase una esfera inscrita en un cilindro.

A él le debemos inventos como la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo. También a él se le ocurrió usar grandes espejos para incendiar a distancia los barcos enemigos.

En Geometría sus escritos más importantes fueron:

• De la Esfera y el Cilindro, donde introduce el concepto de concavidad,así como ciertos postulados referentes a la línea recta.
• De los Conoides y Esferoides en donde define las figuras engendradas por la rotación de distintas secciones planas de un cono.
• De las Espirales en donde analiza estas importantes curvas y analiza sus elementos más representativos.

    En Aritmética son, fundamentalmente dos los escritos más interesantes:

• El Arenario en el que expone un método para escribir números muy largos dando a cada cifra un orden diferente según que su posición.

Ejercicio 4: Publica en tu blog una entrada con los cinco poliedros regulares también llamados sólidos platónicos. ¿Por qué se llaman así? ¿Y por qué sólo hay 5? ¿De dónde reciben el nombre los sólidos arquimedianos?

Poliedros Regulares :

- Tetraedro

-Cubo

-Octaedro

-Dodecaedro

Icosaedro

Se denominan así debido a ser sus caras polígonos regulares iguales, y todos sus diedros y ángulos poliedros también iguales. 

 Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares idénticos y si en todos sus vértices concurren el mismo número de caras. Por lo tanto, es imposible formar un poliedro con solo dos triángulos en cada vértice.

Ejercicio 5:

• ¿Qué figura plana hay que girar y alrededor de qué eje para obtener un CILINDRO?

Se obtiene al girar un rectángulo alrededor de un lado.

• ¿Qué figura plana hay que girar y alrededor de qué eje para obtener un CONO?

Se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de un vértice.

• ¿Qué figura plana hay que girar y alrededor de qué eje para obtener un ESFERA?

Se obtiene al girar un semicírculo desde su centro.


Ejercicio 4.2 : Clasifica el siguiente cuerpo geométrico cuyas caras son cuadrados y triángulos equiláteros. ¿Es un poliedro semirregular?

No, no es un poliedro semirregular. Es un sólido, el cual está formado por la suma entre un cubo y una pirámide cuadrangular regular que tiene los aristas de base coincidentes con los aristas de una cara del cubo. 




Ejercicio 7: ¿Los cuerpos de revolución son convexos?

No, no son convexos, ya que no hay ningún segmento que una dos puntos que esté contenido en dicho cuerpo de revolución.

Ejercicio 8: ¿Qué es TRUNCAR un cuerpo geométrico en el espacio? Pon cuatro ejemplos diferentes. ¿Si truncamos un cuerpo geométrico convexo se obtiene siempre otro cuerpo geométrico convexo (o mejor dicho, dos, por cada truncamiento)?

- Truncar significa cortar los vértices o los aristas de dicho cuerpo geométrico.
- Ejemplos:

1.Pirámide truncada :


2. Cubo truncado :



3. Tetraedro truncado :



4. Cono truncado :




- No siempre, porque hay casos en los que se deshace el hecho de que sea un cuerpo geométrico al diseccionarlo o cortarlo dicho cuerpo,



Se te podría ocurrir hacer la siguiente pregunta: ¿Hay más poliedros convexos?

Solo existen 5 poliedros regulares, pero existen más polígonos convexos que no son regulares, como es, por ejemplo, la pirámide.

Clasificación de Cuadriláteros y Paralelogramos

Cuadriláteros :
 
   - Trapezoide: Es un cuadrilátero convexo el cual no tiene lados paralelos.
      *Cometa o Deltoide: Es un cuadrilátero no regular cuyos lados contiguos son iguales dos a dos.
        También es denominado como un trapezoide con dos pares de lados consecutivos iguales.
   - Trapecio: Es un cuadrilátero el cual tiene únicamente dos lados paralelos.
   - Paralelogramo: Es un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son iguales y además son paralelos dos a dos.

Cuadrilátero Cóncavo: Es un cuadrilátero cuyos ángulos interiores son menores a 180 grados.

Paralelogramos :

  - Cuadrados: Es un paralelogramo cuyos cuatro lados sin iguales y sus cuatro ángulos interiores son rectos, es decir, miden todos noventa grados.
 - Rectángulo: Es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí.
 - Rombo: Es un paralelogramo cuyos cuatro lados son de la misma longitud.
 - Romboide: Es un paralelogramo cuyos lados contiguos no son iguales y dos de sus ángulos son mayores que los otros dos.

Los Centros de un Triángulo

Centros de un Triángulo :



- Baricentro :

• El baricentro, también llamado centroide o centro de gravedad, de un triángulo es el punto de intersección de dos medianas de dicho triángulo. Una mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
• ¡No importa qué dos medianas! Pues la tercera mediana también pasa por el baricentro.

- Circuncentro : 

• El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. El radio de dicha circunferencia es la distancia a cada uno de sus vértices que es la misma .
• El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices de dicho triángulo. Una mediatriz es la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo.
• ¡No importa qué dos mediatrices! Pues la tercera mediatriz también pasa por el circuncentro.

- Incentro : 

• El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. El radio de dicha circunferencia es la distancia a cada uno de sus lados que es la misma .
• El incentro es el punto de intersección de las bisectrices de dos ángulos de dicho triángulo. Una bisectriz de un ángulo es la recta que divide al ángulo en dos ángulos iguales.
• ¡No importa qué dos bisectrices! Pues la tercera bisectriz también pasa por el incentro.

- Ortocentro : 

• El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las dos alturas de dicho triángulo. Una altura es el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice.
• ¡No importa qué dos alturas! Pues la tercera altura también pasa por el ortocentro.

- La recta de Euler : El baricentro, el circuncentro y el ortocentro de cualquier triángulo ESTÁN ALINEADOS. Dicha recta se llama recta de Euler.

Ángulos de una Circunferencia

Ángulo Central : Aquel que tiene su vértice en el centro.

Ángulo Interior : Aquel que tiene su vértice en un punto interior del círculo.

Ángulo Inscrito : Aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia.

Ángulo Exterior : Aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia.

Ángulos de un Polígono

Ángulo Central : Aquel cuyos lados son dos radios consecutivos del polígono.

Ángulo Exterior: Aquel que es formado por un lado de un polígono y la prolongación del lado adyacente.

Ángulo Interior: Aquel formado por dos lados de un polígono que comparten un vértice común dentro de un polígono.

Examen Tema 11 Geometría Plana

Todos los ejercicios del Tema 11

Buenas Uldemolins! Aquí te dejo todos los ejercicios del Tema 11 como mandaste el último día que nos vimos, si faltan algunos ejercicios por favor confírmamelo y el día siguiente te lo mando, estaremos em contacto, muchas gracias.

Las Paradojas de Zenon

Las paradojas de Zenon, pretendieron demostrar, a través de lógica, que tanto el movimiento como el transcurrir del tiempo son puras apariencias ficticias, aberraciones de nuestros sentidos, que no existen realmente, y que están llenas de contradicciones.

Uno de los discípulos de Parménides fue Zenón de Elea, nacido aprox. por 490 a.C. Zenón recibió gran influencia de su maestro, pero no le bastaron sus ideas para suponer que el mundo cambiante y en constante devenir que estás contemplando ahora no es más que una ilusión; y creía que había encontrado las herramientas lógicas para probarlo, a través de la reducción al absurdo.

La paradoja de Aquiles y la tortuga consiste en una imaginaria carrera. Uno de los contrincantes (Aquiles) era el más hábil de los guerreros aqueos, y vencedor de mil batallas. El otro contrincante (la tortuga) es un ser por todos conocido, de proverbial lentitud y bien cachazudo. Dado que Aquiles es mucho más rápido que la tortuga, antes de empezar decide darle ventaja, y tras dársela, se da el pistoletazo de salida.

Rápidamente Aquiles atraviesa ese estadio de ventaja hasta llegar al punto en el que estaba la tortuga. Ésta, de un insospechado espíritu competitivo, se había desplazado unos cuantos pasos hacia adelante. Así que Aquiles, atónito pero confiado en su enorme poderío físico, decide cruzar ese puñado de pasos, hasta llegar de nuevo a donde estaba la tortuga. De nuevo ella ¡se ha vuelto a mover! Se ve que no tiene buen perder y Aquiles de nuevo, recorre velozmente esos centímetros que le separan del punto donde estaba la tortuga, la cual de nuevo la encontramos un poquito más adelante…

Y argumentaba Zenón con mucha razón que así podíamos seguir hasta el infinito, y que Aquiles jamás alcanzará a la tortuga.

Johann Carl Friedrich Gauss

Gauss fue matemático, astrónomo, geodesta y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de los números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica.


La anécdota más conocida de su infancia ocurrió en el colegio cuando tenía 7 años. El profesor castigó a toda la clase con sumar todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 y casi de forma instantánea Gauss tenía la respuesta correcta: 5050.

Los profesores de Gauss vieron en él un don para las matemáticas, así que hablaron con sus padres para que recibiera clases complementarias. Cuando apenas tenía 10 años Johann Carl Friedrich Gauss ya había descubierto dos métodos para calcular raíces cuadradas de números de 50 cifras decimales y hasta encontró pequeños errores en tablas logarítmicas que cayeron en sus manos.

A pesar de su juventud, el matemático ya había descubierto la ley de los mínimos cuadrados, lo que indica su temprano interés por la teoría de errores de observación y su distribución. A los 17 tuvo sus primeras ideas intuitivas sobre la posibilidad de otro tipo de geometría y a los 18 años dedicó sus esfuerzos a completar lo que, a su juicio, habían dejado sin concluir sus predecesores en materia de teoría de números. 

Así, descubrió su pasión por la aritmética, área en la que poco después tuvo sus primeros éxitos. Su gusto por la aritmética prevaleció por toda su vida, ya que para él “la matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas”.

Sucesión de Fibonacci

Es cierto que los números están presentes en nuestro día a día, pero ver la naturaleza a través de ellos resulta complicado. Sin embargo, el ejemplo más claro para entender esta afirmación es la sucesión de Fibonacci. Esta ecuación, muy sencilla en esencia, ha sido capaz de traspasar el firmamento y llegar al universo.

Leonardo de Pisa fue un matemático italiano conocido como hijo de Boanccio o Fibonacci. La fórmula la describió como una solución a un problema de cría de conejos. Aunque no fue invención suya, ya que estaba descrita en textos matemáticos hindúes, fue él quien la relacionó con la naturaleza.

Halla la provincia con menor porcentaje de niños en 2011

Albacete - (9850 niños : 402318 personas) . 100 = 2,5%
Almería - (12070 niños : 702819 personas) . 100 = 1,7%
Álava - (10690 niños : 319227 personas) . 100 = 3,4%
Alicante - (9330 niños : 1939127 personas) . 100 = 0,5%
Asturias - (7240 niños : 1081487 personas) . 100 = 0,7%
Ávila - (7810 niños : 172704 personas) . 100 = 4,5%
Badajoz - (9590 niños : 693921 personas) . 100 = 1,4%
Baleares - (10280 niños : 1113114 personas) .100 = 0,9%
Barcelona - (10760 niños : 5529099 personas) .100 = 0% (aprox.)
Bizkaia  - (9240 niños : 1155772 personas) . 100 = 0,8%
Burgos  - (8870 niños : 375657 personas) . 100 = 2,4%
Cáceres  - (8030 niños : 415446 personas) . 100 = 2,1%
Cádiz  - (10650 niños : 1243519 personas) . 100 = 0,9%
Cantabria  - (9030 niños : 593121 personas) . 100 = 1,5%
Castellón  - (10290 niños : 604344 personas) . 100 = 1,7%
Ciudad Real  - (9590 niños : 530175 personas) . 100 = 1,8%
Córdoba  - (9870 niños : 805857 personas) . 100 = 1,2%
A Coruña  - (8120 niños : 1147124 personas) . 100 = 0,7%
Cuenca  - (8070 niños : 219138 personas) . 100 = 3,7%
Guipuzkoa  - (9960 niños : 709607 personas) . 100 = 1,4%
Girona - (11360 niños : 856810 personas) . 100 = 1,3%
Granada  - (10060 niños : 924550 personas) . 100 = 1,1%
Guadalajara  - (11580 niños : 256461 personas) . 100 = 4,5%
Huelva  - (10600 niños : 521968 personas) . 100 = 2%
Huesca - (8530 niños : 228361 personas) . 100 = 3,7%
Jaén - (9270 niños : 670600  personas) . 100 = 1,4%
León - (6750 niños : 497799 personas) . 100 = 1,4%
Lleida - (10590 niños : 442308 personas) . 100 = 2,4%
Lugo - (6270 niños : 351530 personas) . 100 = 1,8%
Madrid - (11240 niños : 6489680 personas) . 100 = 0,2%
Málaga - (10750 niños : 1625827 personas) . 100 = 0,7%
Murcia - (119110 niños : 1470069 personas) . 100 = 8,1%
Navarra - (10570 niños : 642051 personas) . 100 = 1,6%
Ourense - (6000 niños : 333257 personas) . 100 = 1,8%
Palencia - (7180 niños : 171668 personas) . 100 = 4,2%
Las Palmas - (7180 niños : 1096980 personas) . 100 = 0,7%
Pontevedra - (8570 niños : 963511 personas) . 100 = 0,9%
La Rioja - (9880 niños : 322955 personas) . 100 = 3,1%
Salamanca  - (7570 niños : 352986 personas) . 100 = 2,1%
Santa Cruz de Tenerife - (8370 niños : 1029789 personas) . 100 = 0,8%
Segovia - (8690 niños : 164169 personas) . 100 = 5,3%
Sevilla - (11470 niños : 1928962 personas) . 100 = 0,6%
Soria - (7470 niños : 95223 personas) . 100 = 7,8%
Tarragona - (10900 niños : 811401 personas) . 100 = 1,3%
Teruel - (8340 niños : 144607 personas) . 100 = 5,8%
Toledo - (10880 niños : 707242 personas) . 100 = 1,5%
Valencia - (10190 niños : 2578719 personas) . 100 = 0,4%
Valladolid - (8940 niños : 534874 personas) . 100 = 1,7%
Zamora - (5830 niños : 193383 personas) . 100 = 3%
Zaragoza - (9730 niños : 973325 personas) . 100 = 1%
Ceuta - (14060 niños : 82376 personas) . 100 = 17,1%
Melilla - (18150 niños : 78476 personas) . 100 = 23,1%

Resultado Final = La provincia con menor porcentaje de niños en 2011 es Barcelona.

Uso de Razones y Proporciones

- Razones :

Denominamos razón a cuyo cociente es o está indicado por dos números y representando la relación que hay entre dos cantidades (Razón de 4 a 3, o también, de 4 por cada 3)

- Proporciones :

La proporcionalidad es una relación o una razón constante que existe entre diferentes magnitudes las cuales se pueden medir. De tal modo, que podríamos llamar proporción a la igualdad que existe entre dos o más razones.

1 Terabyte = ¿1000 GB o 1024 GB?

Durante los inicios de la informática, lo natural era que las unidades para medir sus capacidades se expresasen también en base binaria, como múltiplos de 1024.

Pero a la hora de darles un nombre a esos múltiplos, se tomaron los prefijos, como kilo- o tera- del SI,  definidos para expresar cantidades de base decimal. Lo cual dio lugar en la práctica a la confusión entre 1000 y 1024, como si fueran lo mismo.

Para aclarar esta confusión y acentuar la diferencia entre las bases implícitas decimal y binaria, la Comisión Electrotécnica Internacional , definió en 1998 unos nuevos prefijos para los múltiplos expresados como potencias de 2, es decir, en base binaria. Estos nuevos prefijos se generaron combinando los del SI con la palabra binaria, como por ejemplo los prefijos kibi- o tebi-.

En conclusión, de este modo, terabyte queda reservado en exclusiva para referirse a la cantidad de 10¹² bytes, de acuerdo al prefijo tera del SI.

Tales de Mileto y el Teorema de Tales

Tales de Mileto (624 a.C. - 546 a.C.) fue un filósofo, matemático, geómetra, físico y legislador griego.

Tales es considerado el iniciador de la especulación científica y filosófica griega y occidental, su figura y sus aportaciones están rodeadas de grandes dudas. Se acepta que Tales comenzó a usar el pensamiento deductivo aplicado a la geometría.

Se le atribuye la enunciación de dos teoremas geométricos que llevan su nombre :

- El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen ángulos congruentes, esto deriva en que sus lados homólogos sean proporcionales y viceversa").

- Y el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose estos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos.

Los números irracionales

Los números irracionales o reales (R) son los números decimales que no son periódicos.

 Ahora vamos a ver los números N, Z y Q :

Naturales (N) : Son los números que usamos para contar elementos de un conjunto.

Enteros (Z) : Son números que están formados por los números negativos más los números naturales.

Racionales (Q) : Son los números que pueden expresarse como una fracción de dos números enteros.

Marin Mersenne

Marin Mersenne (Oizé, 8 de Septiembre de 1588 -  París, 1 de Septiembre de 1648) fue un sacerdote, matemático y filósofo francés del siglo XVII que estudió campos de tecnología, matemáticas y la teoría musical.

Hoy en día, Mersenne es recordado concretamente gracias a los números que llevan su nombre,
llamados Primos De Mersenne. Mersenne los introdujo  en su Cogitata physico-mathematica en 1641 donde conjeturó algunas propiedades sobre ellos, algunas de las cuales solo pudieron ser comprobadas o refutadas ya en el siglo XX. Tmabién tradujo y comentó las obras de Euclides, Arquímedes y otros matemáticos  griegos, y que su contribución más señalada al avance del conocimiento fue realizada a través de una extensa correspondencia con matemáticos y otros científicos de diversos países.

Sin embargo, Marin Mersenne no fue principalmente un matemático, en verdad empezó escribiendo sobre teología y la filosofía, pero también escribió sobre teoría musical  y sobre otros temas diversos.

Tu letra del DNI con el grafo del 23

Esta es la forma de averiguar la letra de tu DNI con el grafo del 23:

Divides tu DNI entre 23, en mi caso me ha salido como cociente 3100945 (importante sin decimales) y de resto 8. Para saber si el número 8 es el número que coincide con mi letra hay que investigar por internet la tabla de los números de las letras de los DNI:




Y efectivamente me ha salido la letra de mi DNI la cual es la P

También se puede averiguar haciendo la división, el cociente dividirlo también entre 23, y luego restar tu DNI con su cociente dividido entre 23, lo cual también funcionará y te saldrá el número de la letra de tu DNI.

Los tres significados del signo -

El signo menos tiene 3 significados, usos o funciones en Matemáticas :

- La famosa operación llamada sustracción o resta : como por ejemplo; 7-3 = 4

- El operador inverso o aditivo u opuesto: como por ejemplo; -(-9)

- Y por último el indicador de que una constante es negativa: como por ejemplo; hace 2 grados bajo cero (-2)